Блог Чеботаревой О. В.

среда, 1 марта 2017 г.

Примеры по геометрической прогрессии

Примеры

Пример 1.

Последовательность { $b_n$ } –геометрическая прогрессия.

Найдите $b_1$ , если $b_6=-\frac{1}{81}$ , $q=-\frac{1}{9}.$

Решение:

Согласно формуле $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$ имеем:

$b_6=b_1\cdot q^5;$

$-\frac{1}{81}=b_1\cdot (-\frac{1}{9})^5;$

Откуда $b_1=-\frac{1}{81}: (-\frac{1}{9})^5=729.$

Ответ: $729.$

Приметр 2.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии { $b_n$ }, в которой $b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.$

Решение:

Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только $a_n$ и $a_1$ , но и (шире) $a_n$ и $a_k$ ?

В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:

$b_n=b_k\cdot q^{n-k}$ , $n>k$

$b_{11}=b_8\cdot q^3;$

$2\frac{11}{16}=172\cdot q^3;$

$q^3=\frac{\frac{43}{16}}{172};$

$q^3=\frac{1}{64};$

$q=\frac{1}{4};$

Ответ: $0,25.$

Пример 3.

Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4.

Решение:

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$

$b_{10}^2=b_9\cdot b_{11};$

$144=b_9\cdot 4;$

$b_9=36;$

Ответ: 36.

Пример 4.

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

$\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;...$

Решение:

Для того, чтобы воспользоваться формулой $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , нам следует найти знаменатель $q:$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n};$

$q=3\sqrt3:3=\sqrt3;$

Тогда $S_6=\frac{\sqrt3((\sqrt3)^6-1))}{\sqrt3-1}=\frac{26\sqrt3(\sqrt3+1)}{3-1}=13\sqrt3(\sqrt3+1)=39+13\sqrt3;$

Ответ: $39+13\sqrt3.$

Пример 5.

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии { $b_n$ }, в которой $b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.$

Решение:

Найдем знаменатель прогрессии $q$ :

$b_5=b_3\cdot q^2;$

$2=\frac{1}{2}\cdot q^2;$

$q^2=4;$

$q=\pm 2;$

Так как по условию $q>0$ , то берем только $q=2$ .

Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , нам потребуется найти $b_1$ :

Так как $b_3=b_1\cdot q^2$ , то $\frac{1}{2}=b_1\cdot 4$ ;

$b_1=\frac{1}{8};$

Тогда $S_5=\frac{\frac{1}{8}(32-1)}{2-1}=\frac{31}{8};$

Ответ: $\frac{31}{8}.$

Пример 6.

Представьте в виде обыкновенной дроби число $0,(4).$

Решение:

$0,(4)=0,4444....=0,4+0,04+0,004+0,0004+...$

Замечаем, что число $0,(4)$ составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Пусть эта прогрессия { $b_n$ },

$b_1=0,4;$

$q=\frac{1}{10},\;|q|<1;$

Тогда сумма бесконечно убывающей прогрессии { $b_n$ } (а значит, и само число $0,(4)$ ) есть

$S=\frac{b_1}{1-q};$

$S=\frac{0,4}{1-0,1}=\frac{4}{9};$

$0,(4)=\frac{4}{9};$

Ответ: $\frac{4}{9}.$

Пример 7.

Найдите $x$ , если известно, что числа $x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16$ являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение:

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ имеем:

$(\sqrt{5x})^2=(x-3)(x+16);$

$5x=x^2+13x-48,\;x>0;$

$x^2+8x-48=0,\;x>0;$

$x=4;$

При найденном $x$ имеем следующую геометрическую прогрессию: $1,\;\sqrt{20},\;20.$

Ответ: 4.

Пример 8.

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно $\frac{82}{81}.$

Решение:

Пусть дана геометрическая прогрессия { $b_n$ }.

Тогда, согласно условию, $\frac{S_4}{S_2}=\frac{82}{81};$

$\frac{\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}}{\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}}=\frac{82}{81};$

$\frac{q^4-1}{q^2-1}=\frac{82}{81};$

$q^2+1=\frac{82}{81};$

$q^2=\frac{1}{81};$

$q=\pm \frac{1}{9};$

Ответ: $\pm \frac{1}{9}.$

Пример 9.

Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия ( $q>0$ ).

Решение:

Когда мы вставим три числа (назовем их $b_2,\;b_3,\;b_4$ ), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ( $b_1=3,\;b_5=12$ ).

Так как $b_5=b_1\cdot q^4,$ то $12=3\cdot q^4;$

$q^4=4;$

$q=\pm \sqrt2;$

Так как по условию $q>0$ , то $q=\sqrt2.$

Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию:

$3,\;3\sqrt2,\;6,\6\sqrt2,\;12.$

Ответ: $3\sqrt2,\;6,\;6\sqrt2.$

четверг, 9 февраля 2017 г.

Геометрическая прогрессия

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске?

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) $b_1,\;b_2,\;b_3,\;...$ , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q$ (знаменатель прогрессии):

$b_1,\;b_1q,\;b_2q,\;b_3q,\;...$ , где $b_1\neq 0,\;q\neq 0$

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ( $q=2$ )

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

$q=\frac{b_{k+1}}{b_k}$ , $k\in N$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ для $n>1$

Последовательность $b_n$ является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: $b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Формула n-го члена геометрической прогрессии

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , где $q\neq 1$

(если же $q=1$ , то $S_n=b_1$ )

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При $|q|<1$ , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число $S=\lim_{n\to \infty}S_n$ и $S=\frac{b_1}{1-q}$

Домашнее задание по математике (6, 7, 9 классы) от 10.02.17

Математика 6 класс

П.8.2 (стр.166-167), прочитать, ответить на вопросы письменно.

Алгебра 7 класс

Повторить п.6.1-6.4, знать определения, основные формулы, уметь отвечать на вопросы.

Алгебра 9 класс

П.16 (стр. 145-151), №16.7(а), №16.1, №16.5(а).

среда, 8 февраля 2017 г.

Домашнее задание (математика 6, 7, 9 классы) от 09.02.17

6 класс, математика

П.8.1 (стр. 162-163) читать, №619, 621(а), 624(в)

7 класс, алгебра

П.6.4(стр. 177-179), №599(а,в,д), 600(а), 609(а,б)

9 класс, алгебра

П.16 (стр. 145-151), №16.3(а, б), №16.4(а, б), №16.6(а)

пятница, 3 февраля 2017 г.

Арифметическая прогрессия

Определение арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, разностью арифметической прогрессии - d.

Пример арифметической прогрессии: - 2, - 4, - 6, - 8, -10, ...,

Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и тоже число, то это арифметическая прогрессия

В чем заключается признак (характеристическое свойство) арифметической прогрессии?

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Каковы способы задания арифметической прогрессии?

а) рекуррентной формулой

б) формулой n-го члена,

в) формулой вида

, где kи b числа, n - номер

Задание:

Дописать то, чего не достаёт в прямоугольниках. Справочный материал смотреть в учебнике А.Г Мордкович. Алгебра 9 класс (стр. 145 - 156)

Оценивание знания формул:

"5" - нет ошибок;

"4" - одна ошибка;

"3" - 2 ошибки.

среда, 1 марта 2017 г.

Примеры по геометрической прогрессии

Примеры

четверг, 9 февраля 2017 г.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Легенда о зернах на шахматной доске

Геометрическая прогрессия

Домашнее задание по математике (6, 7, 9 классы) от 10.02.17

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Алгебра 9 класс

среда, 8 февраля 2017 г.

Домашнее задание (математика 6, 7, 9 классы) от 09.02.17

6 класс, математика

7 класс, алгебра

9 класс, алгебра

пятница, 3 февраля 2017 г.

Арифметическая прогрессия

среда, 1 марта 2017 г.

четверг, 9 февраля 2017 г.

среда, 8 февраля 2017 г.

пятница, 3 февраля 2017 г.