четверг, 9 февраля 2017 г.

Геометрическая прогрессия


Геометрическая прогрессия

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? 

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно  пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.
— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.
— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!
Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что  превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

Геометрическая прогрессия 

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессииb_1,\;b_2,\;b_3,\;...,   в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии):
b_1,\;b_1q,\;b_2q,\;b_3q,\;...,  где b_1\neq 0,\;q\neq 0
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая (q=2)
Геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
q=\frac{b_{k+1}}{b_k}k\in N
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1} для n>1
Последовательность b_n является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности,  для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: b_n=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}
Формула  n-го члена геометрической прогрессии
b_n=b_1\cdot q^{n-1}
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, где q\neq 1
(если же q=1, то S_n=b_1)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При |q|<1,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число S=\lim_{n\to \infty}S_n и S=\frac{b_1}{1-q}

Комментариев нет:

Отправить комментарий