среда, 1 марта 2017 г.

Примеры по геометрической прогрессии


Примеры

Пример 1.
Последовательность {b_n} –геометрическая прогрессия.
Найдите b_1, если b_6=-\frac{1}{81}q=-\frac{1}{9}.
Решение:
Согласно формуле b_n=b_1\cdot q^{n-1} имеем:
b_6=b_1\cdot q^5;
-\frac{1}{81}=b_1\cdot (-\frac{1}{9})^5;
Откуда b_1=-\frac{1}{81}: (-\frac{1}{9})^5=729.
Ответ: 729. 
Приметр 2.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии {b_n}, в которой b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.
Решение:  
Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только a_n  и a_1, но и (шире) a_n и a_k?
В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:
b_n=b_k\cdot q^{n-k},  n>k
b_{11}=b_8\cdot q^3;
2\frac{11}{16}=172\cdot q^3;
q^3=\frac{\frac{43}{16}}{172};
q^3=\frac{1}{64};
q=\frac{1}{4};
Ответ:0,25.  
Пример 3.
Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4.
Решение:  
Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии
b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}
b_{10}^2=b_9\cdot b_{11};
144=b_9\cdot 4;
b_9=36;
Ответ: 36.  
Пример 4. 
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;...
Решение:  
Для того, чтобы воспользоваться формулой S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, нам следует найти знаменатель q:
q=\frac{b_{n+1}}{b_n};
q=3\sqrt3:3=\sqrt3;
Тогда S_6=\frac{\sqrt3((\sqrt3)^6-1))}{\sqrt3-1}=\frac{26\sqrt3(\sqrt3+1)}{3-1}=13\sqrt3(\sqrt3+1)=39+13\sqrt3;
Ответ: 39+13\sqrt3.  
Пример 5. 
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {b_n}, в которой  b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.
Решение:  
Найдем знаменатель прогрессии q:
b_5=b_3\cdot q^2;
2=\frac{1}{2}\cdot q^2;
q^2=4;
q=\pm 2;
Так как по условию q>0, то  берем  только q=2.
Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, нам потребуется найти b_1:
Так как b_3=b_1\cdot q^2, то \frac{1}{2}=b_1\cdot 4;
b_1=\frac{1}{8};
Тогда S_5=\frac{\frac{1}{8}(32-1)}{2-1}=\frac{31}{8};
Ответ: \frac{31}{8}.  
Пример 6.
Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(4).
Решение:  
0,(4)=0,4444....=0,4+0,04+0,004+0,0004+...
Замечаем, что число 0,(4) составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Пусть эта прогрессия {b_n},
b_1=0,4;
q=\frac{1}{10},\;|q|<1;
Тогда сумма бесконечно убывающей  прогрессии {b_n} (а значит, и само число 0,(4)) есть
S=\frac{b_1}{1-q};
S=\frac{0,4}{1-0,1}=\frac{4}{9};
0,(4)=\frac{4}{9};
Ответ: \frac{4}{9}.  
Пример 7. 
Найдите x, если известно, что числа x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение:  
Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1} имеем:
 (\sqrt{5x})^2=(x-3)(x+16);
5x=x^2+13x-48,\;x>0;
x^2+8x-48=0,\;x>0;
x=4;
При найденном x имеем следующую геометрическую прогрессию: 1,\;\sqrt{20},\;20.
Ответ: 4.  
Пример 8.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно \frac{82}{81}.
Решение: 
Пусть дана геометрическая прогрессия {b_n}.
Тогда, согласно условию,  \frac{S_4}{S_2}=\frac{82}{81};
\frac{\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}}{\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}}=\frac{82}{81};
\frac{q^4-1}{q^2-1}=\frac{82}{81};
q^2+1=\frac{82}{81};
q^2=\frac{1}{81};
q=\pm \frac{1}{9};
Ответ: \pm \frac{1}{9}.  
Пример 9. 
Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия (q>0).
Решение: 
Когда мы вставим три числа (назовем их b_2,\;b_3,\;b_4), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов (b_1=3,\;b_5=12).
Так как b_5=b_1\cdot q^4, то 12=3\cdot q^4;
q^4=4;
q=\pm \sqrt2;
Так как по условию q>0, то q=\sqrt2.
Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию:
3,\;3\sqrt2,\;6,\6\sqrt2,\;12.
Ответ: 3\sqrt2,\;6,\;6\sqrt2.  

Комментариев нет:

Отправить комментарий